С содержательной точки зрения, конечно, школьная математика противоречит высшей. Но вот с точки зрения развития мастерства этого противоречия нет. Поэтому необходимо смотреть более широко.
Представьте ситуацию: студент математического факультета приходит в школу и на уроке говорит: «Учитель, вы ошибаетесь! Корень из отрицательного числа существует — это же элементарно, корень от -1 равен числу i! Или вот ещё, вы говорите, что на ноль делить нельзя просто потому, что “получится бесконечность”, а в университете нас учат, что понятие “бесконечности” куда сложнее и с делением на ноль вообще всё не так однозначно!».
Ученики поражаются, кое-кто начинает смеяться, а учитель вынужден держать ответ объясняя прописные истины (что школьная программа строится иначе и тем не менее она неразрывно связана с вузовской программой), но к сожалению, не для учеников. Такой случай производит сильное впечатление и кажется разоблачением — ведь основы высшей математики явно расходятся с тем, как их преподают в школе:
- «Корень из отрицательного числа не существует», но в вузе комплексные числа — основа алгебры.
- «Деление на ноль даёт бесконечность» — в реальности деление на ноль не определено, и понятие бесконечности требует строгой формализации.
- В школьных задачах могут быть “идеализированные” геометрические фигуры, на которые в университете сразу накладывают строгие условия.
- Школьная математика оперирует только рациональными или иногда действительными числами, игнорируя иррациональные и трансцендентные в строгом смысле.
Однако такую сцену в реальности сложно представить. Настоящий хороший выпускник вуза никогда не станет издеваться или надсмехаться даже над школьником из-за различий в объяснениях, потому что профессионалы понимают саму логику развития математического образования. Цивилизация использует последовательный переход от интуитивно-простых моделей к абстрактным и строгим теориям специально — это позволяет каждому человеку на каждом этапе осваивать доступное его возрасту и уровню понимания.
Обучение строится на «ступеньках» эволюции мышления: сначала осваиваются базовые понятия и навыки, затем уже корректируются и уточняются определения по мере взросления ума и расширения горизонта знаний, чтобы не перегружать и не отпугнуть учащегося сложностью. Именно это постепенное развитие обеспечивает наиболее эффективное усвоение фундаментальных знаний, поддерживает мотивацию и способствует формированию зрелого научного мировоззрения.
На ранних этапах обучения внимание сосредоточено на простых, ощутимых вещах: дети учатся считать предметы, различать фигуры, сравнивать величины, выполнять элементарные действия с числами и геометрическими объектами. Главная цель — освоить основы математического языка и познакомиться с базовыми алгоритмами, сделать математику доступной и понятной. По сути, основная цель – ввести человека в новую культуру и пропитать ею желательно на всю жизнь, в данном случае в математическую культуру. Например, умение писать одновременно словами и знаками в процессе рассуждения.
Позже, когда мышление становится более абстрактным и аналитическим, задачи усложняются: появляется необходимость строгой логики, систематизации знаний, доказательств и поиска универсальных методов решения — акценты уже смещаются на развитие более глубоких навыков, теоретических умений, формирование умения рефлексировать над собственными действиями. При этом нахождение противоречий между начальной и высшей математикой – это отдельная тема для лучшего понимания.
В массовом обучении невозможно сразу решить задачу и систематичности, и глубины качества: если начать с высоких требований по формальности, математика станет недоступной для большинства, попадёт в опасную зону абстракций и потеряет прикладной смысл. Поэтому такое разделение методически оправдано:
- например, в начальной школе упор делается на повторение, наглядность и практическую пользу, а уже в вузе — на строгость, доказательство и анализ ошибок;
- нельзя требовать от начинающих умения работать с абстрактными объектами типа функций, комплексных чисел или структуры доказательств;
- обучая всех, приходится балансировать между индивидуализацией подхода и общим развитием — на каждом этапе свои проблемы, задачи, свои методы, свои критерии успеха.
Постепенное усложнение содержания и методов обучения не только расширяет кругозор, но и позволяет своевременно освоить необходимые умения, зону ближайшего развития каждого возраста и уровня подготовки. Такой подход обеспечивает системное, а главное — гуманное становление математического мышления и культуры.
При есть еще одно важное дополнение – в математике довольно сложно представить человека, которые бы не погружался в культуру постепенно, никто не сможет сразу изучать вузовскую программу, однако, у нас задача более сложная: многие взрослые считают, что могут освоить системное мышление без понимания культуры ученика, а соответственно они остаются в классической форме обучении, не понимания, что значит непрерывное развитие и налет часов, почему систематичность важнее количества освоенного содержания, важность активного участия в сообществе и создания успешных системы для других (а уже косвенно это повлияет на себя).
Поэтому, мне представляется, что сначала необходимо сформировать ученика, который:
– способен ежедневно удерживать внимание на саморазвитии и выделять в неделю 10 часов для этого в течение всей жизни;
– становится осознанным заказчиком своего обучения, он понимает как создавать и развивать свою траекторию развития, к чему стремиться и как обучение связано со смыслом жизни;
– проникается культурой системного саморазвития, развивает системное мировоззрение и знакомится с основными понятиями системного мышления;
– начинает постепенно менять свой стиль жизни, замечает культуру сообщества и общества.
На этом этапе строгость и формальность не являются главными критериями успеха. Это все будет важно на этапах создания Интеллектуала, Профессионала, Исследователя. Главное же на старте — сформировать Ученика, который понимает зачем, чему, как и когда учится, способен непрерывно и бесконечно учиться, кем движет интерес, потребность в познании и стремление к сложности, кто избегает серости, скуки и невежества. Сначала формируется ученик, привыкший к новому и развивающий агентность — способность активно и осознанно познавать это новое. И лишь когда появляется такой ученик, вокруг него возникают тысячи учителей. Тогда в образовательном процессе не существует плохих или хороших учителей — есть лишь разные роли на пути познания.
Такова определенная логика развития — сначала создаётся фундамент для устойчивости, затем строится сложное здание. Этот методический подход обеспечивает гармоничное становление самостоятельного, мотивированного и компетентного ученика, способного к непрерывному и эффективному саморазвитию.