Авторы: Корнев А. И. и Павлова Т.В.
Поклоны, реверансы, предварительные ласки
Прежде всего, хотелось бы поблагодарить организаторов конференции за предоставленную возможность выступить перед ученым сообществом нашей альма-матер и изложить некоторые идеи, касающиеся преподавания математического анализа.
Обладая большим опытом преподавания математического анализа, мы все же не являемся исследователями в области методики его преподавания, и поэтому предвосхищаем возможные упреки в невладении соответствующей терминологией заранее приносимыми извинениями.
Современные традиции преподавания математического анализа это, по нашему мнению, пагубная практика, принятая университетами всего Мира в то время как преподавание остальных математических дисциплин не вызывает нашего столь вопиющего несогласия.
Суть нашей озабоченности состоит в следующем. Возникший и остающийся прикладной математической наукой, матанализ как учебная дисциплина, был критически искажен эпигонами и начетчиками и обращен в игру праздного ума с неясными мотивами и целями.
Историческая справка
Изначально математический анализ возник как прикладная наука в работах И. Ньютона по механике и Г. В. Лейбница по теории плоских кривых. Все задачи математического анализа имели корни в физике и геометрии. В течение наивного периода развития математического анализа, последовавшего непосредственно за этим, не было принято интересоваться такими «излишними строгостями», как существование пределов и сходимость рядов. Кроме того, в доказательствах широко применялись геометрические рассуждения.
Одновременно с возрастающей эффективностью в решении прикладных задач, математический анализ долгое время оставался полуинтуитивной теорией, в которой накапливались парадоксы, связаные с геометрическими способами рассуждений. Стоит отметить, что эти парадоксы не возникали естественно при решении прикладных задач, но изыскивались намеренно и целенаправленно. Избавить внутренюю структуру математического анализа от парадоксов была призвана арифметизация анализа, проведенная О. Л. Коши и К. Т. В. Вейерштрассом в XIX веке. Арифметизация заключалась в отказе от использования геометрическких рассуждений в доказательствах и построении всех доказательств лишь на свойствах вещественных чисел без апелляции к геометрическим образам таким как точки, кривые, графики функций и тд. Для этого было необходимо уточнить понятие действительного числа, которое также не имело строгого математического обоснования. Аксиоматическая теория действительных чисел была построена в трудах К. Т. В. Вейерштрасса, Ю. В. Р. Дедекинда и Г. Кантора. Однако, мы вынуждены констатировать, что не смотря на то, что эти эволюции решили важнейшие проблемы матанализа как стройной математической теории, они, тем не менее, были далеки от потребностей приложений и абсолютно не свойственны человеческой интуиции. Назначение всех этих «рафинированных теорий» по сей день остается неясным для специалистов, использующих матанализ в решении насущных задач. От некоторых из них и сегодня можно услышать, что «бесконечно малая» это такое положительное действительное число (SIC!), которое меньше всех других положительных действительных чисел.
Таким образом, в настоящий момент сложились два господствующих толкования математического анализа. Первое — как строгой аксиоматической теории с епсилон-дельта языком и второе — как прикладного инструмента, в котором предложение «рассмотрим бесконечно малый промежуток времени» обыденно и не вызывает сомнений. Эти толкования не дополняют и не противоречат одно другому. Они просто не встречают друг друга. Они существуют в различных универсумах.
Умницы преподаватели
Представим себе выпускника средней школы на первом курсе любой технической специальности. Он должен изучить курс математического анализа и познакомиться с такими концепциями анализа как предел, производная и интеграл.
Как было изложено выше, существуют два подхода к изучению этих понятий. Первый — интуитивный, прикладной и исторический. При этом подходе понятия анализа вводятся при решении геометрических и физических задач. Концепции оправдываются интуитивно и разбираются на массе примеров. Уже после первой лекции студент сможет построить уравнения касательной к графику функции и найти мгновенную скорость из закона движения. И второй — абстрактно-логический, без апелляций к приложениям и к геометрии. Абсолютно не мотивированный с точки зрения приложений. При этом подходе для начала дается элементарная теория множеств, строится теория действительных чисел (обычно сечения Дедекинда), дается строгое определение предела. В течении нескольких месяцев студент находится в анабиозе, вызванном большим количеством быстро вводимых новых понятий и может решить только лишь задачи, сформулированные в новых терминах, не соотнося их ни с одной областью своего личного понимания мира.
Конечно, первый подход обладает недостатками. Например, если наш студент это студент-математик, то ему все равно придется вернуться к этим понятиям на более высоком уровне строгости и разобраться и с теорией действительных чисел и с точным определением предела. Но это возможно. Научить же студента, основываясь только на втором подходе не возможно принципиально. Развитие идей анализа не возможно понять без референций к прикладным задачам. Сквозь абстракции дедекиндовых сечений не просматривается стрелка спидометра, показывающая мгновенную скорость!
Какой же из подходов к преподаванию выбран во всех университетах Мира? Интуитивно-прикладной или абстрактно-логический? Абстрактно-логический! Это нельзя объяснить ничем иным, кроме вмешательства в нашу цивилизацию могущественных небелковых нетопырей из Большого Магелланова Облака.
Студента не вводят в круг прикладных задач, решаемых с помощью математического анализа. Студенту начитывают священные тексты, в которых главное это непротиворечивость и формальный вывод из минимально возможного набора аксиом и определений.
Альтернативная программа.
С точки зрения авторов курс математического анализа в первом семестре должен претерпеть следующие изменения. Прежде всего, должны быть реабилитированы геометрические аргументы. Человек, не ищущий парадоксов намеренно, не встретит их при вычислении производной от . Самая смелая фантазия не заставит студента-первокурсника искать пример всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функциии. На первой лекции решается задача построения касательной к графику функции с помощью интуитивной концепции предела. Далее эта концепция получает интуитивное развитие с помощью большого количества примеров. С помощью введенного понятия производной решаются прикладные задачи об определении мгновенной скорости и линейной плотности неоднородной проволоки. Развивается техника вычисления производных. Рассматриваются прикладные задачи оптимизации с помощью производной. Определяется дифференциал как абстрактный символ. Для введения понятия определенного интеграла рассматривается задача поиска площади криволинейной трапеции и сводящиеся к ней задачи механики. Определяется понятие неопределенного интеграла от дифференциала, а не от функции. Доказывается формула Ньютона-Лейбница. Развиваются начала техники интегрирования. Мы считаем насущным ограничиться здесь лишь таблицей интегралов, изложением сути методов подстановки, интегрирования по частям и внесения под дифференциал. Тогда как более сложные методы интегрирования, начиная с рациональных дробей могут и должны быть делегированы системам компьютерной алгебры таким, например, как Wolfram Alfa или Geogebra. Рассматриваются простейшие диференциальные уравнения на примере радиоактивного распада и формулы Циолковского.
Мы не одни. Про Зельдовича и В. Арнольда
В заключение стоит отметить, что вопрос переориентации преподавания математического анализа на интуитивно -прикладное направление поднимался в СССР физиком Я. Б. Зельдовичем и в современной России математиком В. И. Арнольдом.